#sec-1

Computer Graphics · Chapter 4 · 02

基本几何变换：平移、旋转与缩放

仿射变换 · 刚体变换 · 平移矩阵 · 旋转矩阵 · 缩放矩阵

Local Mesh

→

Translation T

Rotation R

Scaling S

→

4×4 Affine Matrix

#sec-2-1

Medical-Engineering Problem

医工问题：虚拟器械如何放到目标位置？

在三维医学场景中，虚拟器械或植入物模型通常先定义在自己的局部坐标系中。如何将虚拟模型放置到正确的位置和姿态？

课堂预测60 s

至少要改变哪些量？

如果模型已经加载进程序，但没有对准目标区域，你认为需要调整哪些几何属性？

#sec-2-2

Prediction

把医工问题拆成三个几何问题

位置

目标点在哪里？

Translation

方向

目标轴向如何对齐？

Rotation

尺度

模型大小是否匹配？

Scaling

接下来先把复杂医学对象抽象成简单形体，研究这些变换的共同规律。

#sec-2-3

Abstraction

为什么先用简单形体？

复杂模型由大量顶点构成。只要理解一个点或一个简单形体如何变化，就能推广到整个网格。

复杂医学器械

→

单位立方体 / 箭头

→

点的变换规律

→

回到医学场景

教学约定：推导时使用点、箭头、正方形、立方体；应用时回到三维医学模型与器械定位。

#sec-2-4

Concept

Transformation：从 P 到 P′

变换可以看成一个函数：把一个点、一个向量或一组顶点映射到新的位置或状态。

→

P′

\[P′ = T(P)\]

在程序中，我们最终希望把这个映射写成矩阵乘法。

#sec-2-5

Affine Transform

仿射变换：为什么只需要变换顶点？

仿射变换的重要性质是：直线仍映射为直线，线段仍映射为线段。

图形学意义

三角形的三个顶点变换后，三角形内部点可由光栅化阶段继续生成。

\[P(\alpha) = (1-\alpha)P_0 + \alpha P_1 \implies T(P(\alpha)) = (1-\alpha)T(P_0) + \alpha T(P_1)\]

#sec-2-6

Rigid vs Non-Rigid

刚体、刚性变换与非刚性变换

说“刚体”时，重点不是对象材质，而是变换前后对象内部的相对几何关系是否保持不变。

刚体 / 刚性变换

对象像一个整体被移动或转动。

\[d(P_i,P_j)=d(P_i',P_j')\]

距离、角度、形状、体积保持不变。

Translation + Rotation

非刚体 / 非刚性变换

对象内部相对几何关系发生改变。

\[d(P_i,P_j)\ne d(P_i',P_j')\]

大小、比例、形状或局部结构可能变化。

Scaling / Shearing / Deformation

医工联系：刚性配准常用于“整体姿态调整”；非刚性变换则可能用于组织形变、模型模板适配或非均匀尺度调整。

#sec-2-7

Interaction · Classification

随堂判断：哪些操作保持“刚体”特征？

请判断下列操作属于刚性变换，还是非刚性/一般仿射变换。

A把三维骨骼模型整体平移到屏幕中心

B把虚拟探针绕目标方向旋转30°

C把植入物模板沿X方向拉长1.5倍

D对软组织表面做局部形变匹配

参考：A、B保持刚体特征；C、D会改变对象内部相对关系，属于非刚性或更一般的变换。

#sec-3-1

Translation · Geometry

平移：把每个点移动同一段位移

平移由位移向量决定。所有点获得同一个位移，因此对象的位置改变，但方向、大小和形状保持不变。

二维平面

\[ \begin{aligned} x' &= x+t_x \\ y' &= y+t_y \end{aligned} \]

位移向量：\(\mathbf{t}=(t_x,t_y)\)。

三维空间

\[ \begin{aligned} x' &= x+t_x \\ y' &= y+t_y \\ z' &= z+t_z \end{aligned} \]

位移向量：\(\mathbf{t}=(t_x,t_y,t_z)\)。

课堂提问

如果模型中有100万个顶点，平移时每个点获得的位移是否相同？这说明平移是否会改变形状？

#sec-3-2

Translation · Why Homogeneous

为什么普通二维矩阵不能直接表示平移？

普通\(2\times2\)线性矩阵只能产生\(x,y\)的线性组合；而平移还需要额外的常数项。

普通线性矩阵

\[ \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix} \]

没有办法直接产生独立于\(x,y\)的\(t_x,t_y\)。

平移需要常数项

\[ \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x+t_x\\y+t_y\end{bmatrix} \]

因此需要增加一个固定分量，让矩阵乘法“带入”常数项。

这正是齐次坐标的意义：用增加的分量，把平移也纳入矩阵乘法。

#sec-3-3

Translation · 2D Homogeneous Matrix Derivation

二维齐次平移矩阵的代数推导

建立目标代数方程，从上到下按行展开，从左到右匹配对应项系数，严格确定 9 个矩阵元素。

逐行代数匹配方程

\[ \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix} \]

第1行 (\(x'\))：\(m_{11}x + m_{12}y + m_{13}\cdot 1 = x + t_x\)
对任意 \((x, y)\) 恒成立 \(\implies \mathbf{[m_{11}, m_{12}, m_{13}] = [1, 0, t_x]}\)

第2行 (\(y'\))：\(m_{21}x + m_{22}y + m_{23}\cdot 1 = y + t_y\)
对任意 \((x, y)\) 恒成立 \(\implies \mathbf{[m_{21}, m_{22}, m_{23}] = [0, 1, t_y]}\)

第3行 (\(w'\))：\(m_{31}x + m_{32}y + m_{33}\cdot 1 = 1\)
齐次权重为常数 1 \(\implies \mathbf{[m_{31}, m_{32}, m_{33}] = [0, 0, 1]}\)

合成矩阵与代数本质

\[ \mathbf{T}(t_x, t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

左上角 \(2\times 2\) 单位阵：保持原始 \((x, y)\) 坐标尺度与旋转状态完全不变。

第3列 \([t_x, t_y]^T\)：与齐次项 \(w=1\) 相乘，精准释放出常数位移量。

第3行 \([0, 0, 1]\)：保证变换后的点仍保持 \(w'=1\) 的齐次表示。

小结：增补的第三维坐标 \(w=1\) 充当了“常数载体”，使非线性的平移巧妙转化为线性矩阵乘法。

#sec-3-4

3D Translation · Homogeneous Generalization

从二维到三维：齐次平移推广与分块结构

沿用逐行系数匹配的逻辑，三维齐次平移自然扩展为 4×4 矩阵，并呈现出优美的分块代数结构。

三维 4×4 齐次平移矩阵

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ z + t_z \\ 1 \end{bmatrix} \]

• 前 3 行分别独立对 \(x, y, z\) 施加对应的位移分量 \(t_x, t_y, t_z\)。

• 第 4 行保持为 \([0, 0, 0, 1]\)，维系刚体变换后的齐次标度 \(w'=1\)。

几何意义：无论二维还是三维，平移信息均精确落在增补的最后一列。

优雅的分块矩阵形式 (Block Form)

\[ \mathbf{T}(\mathbf{t}) = \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{3\times 3} & \mathbf{t}_{3\times 1} \\ \mathbf{0}_{1\times 3} & 1 \end{bmatrix} \]

\(\mathbf{I}_{3\times 3}\)：三阶单位阵，保持物体的原有姿态与尺寸；

\(\mathbf{t} = [t_x, t_y, t_z]^T\)：最后一列平移向量，注入空间位移；

\(\mathbf{0}_{1\times 3}\) 与 \(1\)：保证矩阵乘法后齐次标度保持为 1。

核心结论：三维变换统一表达为 \(4\times 4\) 矩阵，为后续连续复合变换奠定了代数基础。

深度思考：方向向量对平移“免疫”

若作用于方向向量 \(\mathbf{v}=[v_x,v_y,v_z,0]^T\)，由分块乘法：\(\mathbf{T}\mathbf{v} = \begin{bmatrix}\mathbf{I} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0} & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{v} \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathbf{I}\mathbf{v} + \mathbf{t}\cdot 0 \\ 0 + 1\cdot 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathbf{v} \\ 0\end{bmatrix}\)。自由向量无固定起点，平移零影响！

#sec-3-5

Quick Check

随堂测试：平移作用于谁？

单选

同一个平移矩阵 \(\mathbf{T}\) 作用于下面哪一个对象时，会产生位置偏移？

A点 \(\mathbf{p} = (x, y, z, 1)^T\)

B方向向量 \(\mathbf{v} = (x, y, z, 0)^T\)

参考答案：A。平移影响点 \(\mathbf{p}\) 的位置；自由向量 \(\mathbf{v}\) 表示方向和大小，不应额外获得平移分量。

#sec-4-1

Scaling · Geometry & Fixed Point

缩放：比例改变与不动点

缩放不只是“变大/变小”，其本质是改变点相对于缩放中心的距离分量；默认以原点为不动点。

几何定义：距离分量缩放

\[ x' = s_x x,\qquad y' = s_y y \]

每个坐标分量独立乘以缩放因子。原点 \(O(0,0)\) 缩放后依然为 \((0,0)\)，是变换的不动点（缩放中心）。

均匀缩放 vs 非均匀缩放

• 均匀缩放 (\(s_x = s_y = s_z\))：各向等比，保持几何外形相似，无纵横形变。

• 非均匀缩放 (\(s_x \ne s_y\))：各轴向比例独立，会改变纵横比并导致形状拉伸变形。

核心注意：以原点为中心缩放时，物体不仅自身尺寸发生改变，其到原点的距离也会同比例缩放。

#sec-4-2

Scaling · Homogeneous Matrix

从二维缩放到三维齐次缩放

以原点为不动点时，缩放矩阵为纯对角结构，各主对角元独立控制对应维度的缩放比例。

二维齐次缩放矩阵 (3×3)

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x x \\ s_y y \\ 1 \end{bmatrix} \]

• 主对角线直接缩放 \(x, y\) 坐标，不产生项间交叉（无旋转拉剪）。

• 最后一列均为 0，无常数平移位移；最后一行维持齐次权重 \(w'=1\)。

三维齐次缩放与分块结构 (4×4)

\[ \mathbf{S}(s_x,s_y,s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{S}_{3\times 3} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \]

• 分块对照：平移矩阵改最后一列，缩放矩阵改主对角块 \(\mathbf{S}_{3\times 3}\)。

• 逆矩阵：只要 \(s_i \ne 0\)，\(\mathbf{S}^{-1} = \operatorname{diag}(s_x^{-1}, s_y^{-1}, s_z^{-1}, 1)\)。

几何特性：缩放通常属于非刚性变换，它会改变点对之间的相对欧氏距离与模型的几何尺度。

#sec-4-3

Scaling · Center

缩放中心不是原点怎么办？

如果希望围绕模型中心 \(C\) 缩放，不能直接使用以原点为中心的 \(S\)。

\(T(-C)\)
移到原点

→

\(S\)
执行缩放

→

\(T(C)\)
移回原处

\[ M = T(C)\,S\,T(-C) \]

课堂练习

如果植入物模板以自身中心缩放，而不是以患者坐标原点缩放，为什么必须使用前后两次平移？

医工联系：调整植入物模板尺度时，通常希望围绕模型自身中心或指定参考点缩放。

#sec-5-1

Rotation · 2D Derivation

旋转：从二维平面完整推导一次

先研究点 \(P(x,y)\) 绕原点逆时针旋转 \(\theta\)。旋转保持原点距离不变，只改变方向角。

初始点极坐标表示

\[ x = r\cos\alpha,\qquad y = r\sin\alpha \]

点 \(P(x,y)\) 到原点距离为 \(r\)，与 \(X\) 轴正向夹角为 \(\alpha\)。

逆时针旋转 \(\theta\) 后的极坐标

\[ x' = r\cos(\alpha+\theta),\qquad y' = r\sin(\alpha+\theta) \]

距离 \(r\) 保持恒定不变，角度增至 \(\alpha+\theta\)。目标：展开并消去参数 \(r, \alpha\)。

几何约束：旋转变换保持点到原点的距离不变（\(\|\mathbf{p}'\|=\|\mathbf{p}\|=r\)），属于保距保角的刚性变换。

#sec-5-2

Rotation · 2D Matrix Form

二维旋转矩阵：从代数展开到齐次矩阵

利用三角和角公式消去参数 \(r\) 与 \(\alpha\)，得到线性方程并无缝升维为 3×3 齐次形式。

代数展开与 2×2 线性矩阵

\[ \begin{aligned} x' &= r(\cos\alpha\cos\theta - \sin\alpha\sin\theta) = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' &= r(\sin\alpha\cos\theta + \cos\alpha\sin\theta) = x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned} \]

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]

90° 特殊值检验：令 \(\theta=90^\circ\)，\(\mathbf{R}(90^\circ)\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)，符合逆时针旋转。

二维 3×3 齐次旋转矩阵

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

• 结构特征：左上角承载纯平面旋转；第 3 列为 0，绕原点无位移。

• 逆变换（正交性）：旋转 \(-\theta\) 即为逆操作，逆矩阵直接等于转置： \[ \mathbf{R}^{-1}(\theta) = \mathbf{R}(-\theta) = \mathbf{R}^T(\theta) \]

刚体性质：行列式 \(\det(\mathbf{R}) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)，变换前后图形面积与手性严格守恒。

#sec-5-3

Rotation · 3D Extension

从二维旋转扩展到三维空间

二维平面内绕原点旋转，可以看作三维空间中绕 \(Z\) 轴旋转：\(x,y\) 发生旋转，\(z\) 坐标严格保持不变。

绕 Z 轴旋转的坐标关系

\[ \begin{aligned} x' &= x\cos\theta - y\sin\theta\\ y' &= x\sin\theta + y\cos\theta\\ z' &= z \end{aligned} \]

旋转轴上的坐标 \(z\) 不发生改变，垂直于旋转轴的 \(X\)-\(Y\) 平面内执行标准二维旋转。

4×4 齐次旋转矩阵

\[ \mathbf{R}_z(\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

第 3 行与第 3 列为 \([0,0,1,0]\)，精确锁定 \(z\) 分量与齐次标度不变。

三维旋转核心：绕哪根轴转，就保留该轴分量不变，并在与其垂直的平面内执行二维标准旋转。

#sec-5-4

Rotation · Axes

三维空间：绕不同坐标轴的旋转矩阵

三维旋转必须明确旋转轴与正方向。不同旋转轴对应不同的不变分量，正旋转角 \(\theta\) 由右手定则严格决定。

绕 X 轴 \(\mathbf{R}_x(\theta)\)

从 \(+X\) 轴看向原点，由 \(Y\to Z\) 为逆时针正向（\(x\) 保持不变）。

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

绕 Y 轴 \(\mathbf{R}_y(\theta)\)

从 \(+Y\) 轴看向原点，由 \(Z\to X\) 为逆时针正向（注意符号翻转！）。

\[ \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

绕 Z 轴 \(\mathbf{R}_z(\theta)\)

从 \(+Z\) 轴看向原点，由 \(X\to Y\) 为逆时针正向（与标准二维旋转一致）。

\[ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

右手定则视角判断：大拇指指向该坐标轴正向，四指弯曲方向即为正旋转角 \(+\theta\)（从正轴沿黑箭头朝原点望去为逆时针）。绕 \(Y\) 轴时由循环顺序 \(Z\to X\) 决定，导致 \(\sin\theta\) 符号与另外两轴位置互换。

#sec-5-5

Rotation · Center

旋转中心很重要：绕原点还是绕目标点？

很多医工任务不是“绕世界原点旋转”，而是希望器械围绕目标入口点、关节中心或模型中心旋转。

\(T(-C)\)
把中心移到原点

→

\(R(\theta)\)
执行已知旋转

→

\(T(C)\)
把中心移回原处

\[ M = T(C)\,R(\theta)\,T(-C) \]

连接下一课

这个公式已经不是单个基本变换，而是多个矩阵的组合。下一课要重点讨论：为什么顺序不能交换？

复杂旋转策略：“平移中心至原点 → 执行已知旋转 → 沿原向量平移恢复”，复合变换从右向左依次作用。

#sec-5-6

AI Collaboration

AI协作：旋转矩阵敢直接用吗？

AI协作任务

让AI推导二维点绕原点逆时针旋转 \(\theta\) 的矩阵，并要求它解释 \(\sin\theta\) 项的正负号。

用特殊值 \(\theta = 90^\circ\) 检查。
验证 \((1,0) \to (0,1)\)。
再用 D04-02 观察图形结果。

工程把关：AI 可以高效推导代数公式，但旋转方向（左右手系）、行优先/列优先乘法约定必须由工程师严格核验。

#sec-6-1

Interactive Demo

Demo：基本变换矩阵实验台

分别调整平移 (T)、旋转 (R)、缩放 (S) 参数，实时观察顶点坐标、\(4\times 4\) 齐次矩阵与三维形体姿态响应。

D04-02 · 教学仪器 HTML5 Canvas + WebGL 交互实验

基本变换矩阵实验台

直观操控三维几何体，同步观察 \(4\times 4\) 矩阵数值动态变化与顶点变换计算，打通代数矩阵与空间几何直觉。

🔹 三维变换调节：独立调节平移 (\(t_x, t_y, t_z\))、旋转 (轴向与角度 \(\theta\))、缩放 (\(s_x, s_y, s_z\))

🔹 对象属性切换：几何点 (Point, \(w=1\)) 与方向向量 (Vector, \(w=0\)) 变换差异实时监视

🔹 矩阵实时解算：同步输出 \(4\times 4\) 矩阵各元素，直观呈现主对角线与最后一列

▶ 启动交互 Demo：基本变换矩阵实验台 ↗

课堂观察任务 3 min

带着问题观察与验证

平移与不动点观察：调节 \(t_x, t_y, t_z\)，观察点 \(P\) 的坐标变化，原点是否随之发生视觉偏移？
点与向量分界验证：切换 Point (\(w=1\)) 与 Vector (\(w=0\))，验证方向向量为何对平移完全“免疫”。
绕轴旋转与正负号：切换绕 \(X, Y, Z\) 轴旋转，验证右手定则正方向，注意绕 \(Y\) 轴旋转时矩阵符号的对称特征。
缩放中心与比例形变：对比均匀缩放与非均匀缩放，观察物体自身尺寸及距原点距离的同步放大。

💡 提示：重点观察中间参数面板的 \(4\times 4\) 矩阵数值高亮，建立代数元素与三维图形运动的一一映射。

#sec-6-2

Closure

从简单形体回到医工场景

虚拟器械的定位，本质是给同一组顶点施加不同的变换矩阵。

Unit Tool

→

Scale

→

Rotate

→

Translate

→

Patient Scene

位置

Translation决定对象放到哪里。

方向

Rotation决定轴向如何对齐。

尺度

Scaling决定模型大小是否匹配。

#sec-6-3

Summary

本课时小结：基本变换与齐次矩阵

本课从虚拟器械定位问题出发，建立了从概念到矩阵的基本变换框架。

概念层

变换是点到点、向量到向量的映射；仿射变换保持直线结构。

性质层

刚性变换保持距离、角度、形状和体积；非刚性变换可能改变大小、比例或形状。

矩阵层

平移、缩放、旋转都可以在齐次坐标中统一为矩阵乘法。

核心结论：二维公式帮助理解几何意义，三维齐次矩阵帮助进入WebGL实现；中心点和旋转轴决定变换结果。

#sec-6-4

Quick Check

随堂测试：识别变换类型

判断

将虚拟器械沿目标通道方向对齐，主要对应哪类变换？

ATranslation

BRotation

CScaling

参考答案：B。方向对齐主要依赖旋转；若还要放到目标点，则需要继续组合平移。