D04-01
标架与齐次坐标显微镜
核心问题：“同一个几何对象，在模型坐标系、世界坐标系和观察/相机坐标系下为什么坐标不同？$w$ 分量到底起到了什么作用？”
Chapter 4 · 几何变换
几何空间 (Geometric Space)
支持鼠标拖动手柄与标架基底
世界坐标系 (World Frame, W)
模型坐标系 (Model Frame, M)
点 P (Point, w=1)
空间几何真实不变 · 坐标随标架而变
Space: (0.00, 0.00)
💡 提示:
拖动黄色手柄改变位置，拖动蓝色箭头顶端旋转局部标架
标架定义与教学三步法
Model Frame
当前考察的局部标架 (Target Frame):
Model Frame (M)
模型坐标系绑定在物体本身；观察/相机坐标系以视点为原点，视线方向构成基底。
几何对象类型 (Geometric Entity):
Point P (w=1)
点的位置依赖原点锚定；平移标架时其局部坐标必定改变 ($w=1$)。
标架定义 (Origin & Basis Vectors)
在世界坐标系 (W) 中的数值
世界坐标系 (World Frame, W)
O_W: (0.0, 0.0)
i_W: (1.0, 0.0)
j_W: (0.0, 1.0)
模型坐标系 (Model Frame, M)
θ = 30.0°
原点 O_M (in W):
(2.00, 1.50)
基底 u_M (in W):
(0.87, 0.50)
基底 v_M (in W):
(-0.50, 0.87)
旋转标架方向 (θ):
30°
📐 图形管线场景预设 (Standard Pipeline)
Preset
几何对象在模型坐标系 (Model)中建模，经模型变换置入世界坐标系 (World)，并在观察/相机坐标系 (Camera)下成像。
坐标表示监视器 (Representation)
Homogeneous
世界坐标系 vs 局部标架:
Point [x, y, w]^T
[ 几何对象 ]_W
3.50
2.50
1
世界坐标系表示
[ 几何对象 ]_M
1.80
0.37
1
模型坐标系表示
🛡️
平移不变量: 标架原点平移时，自由向量坐标不变（$w=0$ 消去位移）。
🔍 显微镜核心：w 分量的代数本质
w = 1
P = x·u_local + y·v_local + 1·O_local
v = x·u_local + y·v_local + 0·O_local
点依赖原点（$w=1$）；向量仅有方向与大小，与原点完全无关（$w=0$）。
标架变换矩阵 M_{W ← Local}
[ u | v | O ]
列向量由局部标架基底与原点在世界系的分量构成：
0.87-0.502.00 0.50 0.871.50
001
[Object]_W = M_{W ← M} × [Object]_M