计算机图形学

Suzanne 模型(三维空间中的点)

Suzanne 的 UV 展开图(二维纹理空间)

以桔子建模为例

• 从一个球体用桔子表皮颜色着色开始
• 对球体外形进行逐步细化，使其接近桔子的真实形状
• 但存在两个问题：
  • 无法完全表达桔子表面结构的特点，如各种表面的小凸起
  • 用于表达小凸起会产生大量的多边形
• 拍一张桔子的照片，将其”粘“到球体上，即纹理映射(Texture Mapping)
• 如果表面还是太光滑，可以改变局部的形状，即凹凸映射(Bump Mapping)

纹理映射过程中涉及的坐标系包括：

• 参数坐标，用于描述物体表面曲线或曲面
• 纹理坐标，用于标识图像中用于映射的点
• 对象坐标或世界坐标，理论上是纹理映射实际发生的坐标系统
• 窗口坐标，最后实际生成图像的坐标系

• 定义接缝(Seams)，像裁缝一样，决定在哪里“剪开”三维网格
• 展开(Unwrap)，使用算法将剪开的一块块内容“孤岛”(Islands)展平到二维UV空间
• 打包(Pack)，调整这些“孤岛”的位置和大小，使它们尽可能高效地填满$[0,1]\times[0,1]$的纹理空间

计算出最终的$(u,v)$坐标后，永久存储在模型的VBO中

对于简单的几何体，可以找到映射关系，将纹理坐标上的一个点，对应到最终成像图像上的位置，该映射关系可表示成

$$ \begin{cases} x=x(s,t)\\ y=y(s,t)\\ z=z(s,t) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s=s(x,y,z)\\ t=t(x,y,z) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} u=u(s,t)\\ v=v(s,t) \end{cases} $$

假设一个圆柱半径为$r$，高度为$h$，如果用参数$(u,v)$表示圆柱体上一点，则其对应点坐标$(x,y,z)$可定义为：

$$ \begin{cases} x=r\cos{2\pi u}\\ y=vh\\ z=r\sin{2\pi u} \end{cases} $$

即完成了从图像坐标$(u,v)$到圆柱体表面一点$P(x,y,z)$的映射

再将纹理空间$(s,t)$映射到参数空间$(u,v)$，则有：

$$ \begin{cases} s=u\\ t=v \end{cases} $$

这样，就实现了从纹理空间$(s,t)$到三维空间$(x,y,z)$的映射

假设一个球体半径为$r$，如果用参数$(u,v)$表示球体上一点，则其对应点坐标$(x,y,z)$可定义为：

$$ \begin{cases} x=r\sin{(\pi v)}\cos{(2\pi u)}\\ y=r\sin{(\pi v)}\sin{(2\pi u)}\\ z=r\cos{(\pi v)} \end{cases} $$

即完成了从图像坐标$(u,v)$到球体表面一点$P(x,y,z)$的映射

再将纹理空间$(s,t)$映射到参数空间$(u,v)$，则有：

$$ \begin{cases} s=u\\ t=v \end{cases} $$

这样，就实现了从纹理空间$(s,t)$到三维空间$(x,y,z)$的映射。但在映射过程中，需考虑到球体存在形变。球体一般用于环境映射

• 对点$P_M$，计算其法线$N_M$
• 定义射线方程$R(t)=P_M+t N_M$
• 计算$R(t)$与中间形体$S$的交点$P_S$
• 即有$g(P_M)=P_S$

• 优点: 理论上能更“贴合”模型的凹凸细节。
• 缺点:
  • 计算 $g$ 非常昂贵（需要射线-形体求交）。
  • 如果 $N_M$ 不指向 $S$（例如在凹陷处），则映射失败。
  • 如果 $M$ 是凹形 (concave)，多个 $P_M$ 可能映射到同一个 $P_S$。

以$S$为球体为例

• 对于 $M$ 上的点 $P_M$，计算其相对于 $S$ 中心的向量 $V = P_M - S_{center}$。
• 这个 $V$ 的方向，正是$S$在其表面“对应点”的法线方向$N_S$。
• 将$P_M$沿此方向“拉”到$S$的表面，即对其归一化
• $P_S = g(P_M) = normalize(V) \cdot S_{radius} + S_{center}$

• 优点:
  • 计算 $g$ 极其简单（例如，球体 $g$ 只是 $normalize(P_M)$）
  • 总是能找到映射（除非 $P_M$在$S$中心）
• 缺点:
  • 会产生拉伸（如地图）
• 用途:是球面映射 和 圆柱映射 的基础